阿基米德折弦定理
1、阿基米德折弦定理
(1)、 2) 慢慢放开控制杠杆高度的绳子，使其慢慢向下运动。
(2)、∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，
(3)、刘耀忠——四点向量定理与斯坦纳定理在解题中的应用
(4)、2020年9月至2020年12月最受读者欢迎的51篇数学解题文章
(5)、当然定理的证明方法还有很多，感兴趣的读者可以完善.下面走进证后的思考.
(6)、王安平——反函数法再解“指对不等式”恒成立问题
(7)、 截取AB=DC，连接BC，做AD、BC中垂线，
(8)、∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC
(9)、 =R(sin2y+sin2z)=b+c;
(10)、(折弦定理)一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.
(11)、高振宁：2020年新高考山东卷数学第21题解法研究
(12)、阿基米德(公元前287年—公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
(13)、邵苏阳——由百校联考圆锥曲线压轴题引发关于三点共线证明之思考
(14)、刘海涛——八省联考数列题的多解、溯源及通法总结
(15)、3) 使杠杆左边小杯下的石头随杠杆下降，慢慢浸入置于水平面上的溢水杯中，至石头恰好完全浸没。注意石头不碰壁不碰底。
(16)、贺凤梅——2019年全国卷I第16题的8种解法
(17)、∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.
(18)、 由MN//AD得∠CJM=∠DAC=∠DIC,
(19)、为了更好理解两个推论，我们引进一个新概念：
(20)、当他刚满十一岁时，借助与王室的关系，被送到埃及的亚历山大里亚城去学习。
2、
(1)、 =2Rsin(y+z)cos(y-z)
(2)、邹生书——椭圆参数方程详解2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试第11题
(3)、2018年海淀一模15小题拿这道题做引子出了道题目。
(4)、接下来，我们一起来学习一下阿基米德折弦定理：
(5)、(说明) 这个问题还有一些其他的处理方法，大家可以进一步研究一下.
(6)、因为角mcy=角mab=角mba=角mcx
(7)、阿基米德冥思苦想了好几天，不得其解。有一天，阿基米德去洗澡，由于澡盆里的水太满，他一进澡盆，水就向外溢，而且感到水对身体有托力。他用身体沉浮多次来体验浮力的大小，领悟到身体排开的水越多，浮力就越大。他立即联想到王冠如果掺银子，必然比同样重量的金子体积大，放入水中所受的浮力就会比纯金的大。阿基米德立刻跳出澡盆，狂喜地跑过人流熙攘的大街，直向王宫奔去，嘴里喊着：“找到了！找到了！”后来经过阿基米德严格检验，证明王冠里确实用银子掺了假，工匠也被国王治了罪。
(8)、如图，ADB是圆O的一条折弦，C是弧AB的中点，CE⊥BD
(9)、他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。
(10)、阿基米德(公元前287年—公元前212年)，我国历史上和他同时代的人自然就是大名鼎鼎的秦始皇。他是伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
(11)、阿基米德非常重视试验，一生设计、制造了许多仪器和机械，值得一提的有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。
(12)、阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。
(13)、英国人希思(T·L·Heath，1861～1940)编的《阿基米德全集》未见收录，当然我国在1998年根据希思本由朱恩宽、李文铭译，叶彦润、常心怡校的中文版《阿基米德全集》(陕西科技出版社)也就没有收录阿基米德折弦定理。(虽然这本全集中未收录折弦定理，但一些竞赛书上还是给予了介绍)
(14)、2021年第一季度最受读者欢迎的51篇数学解题文章
(15)、 鸡爪定理博大精深、深不可测，我写着写着发现内容真多，就算除去稍远的内容，也至少能写够“降龙十八爪”，但是因为我习惯于做完题以后再对其进行归类，这样就导致有些解决的问题其实不是鸡爪定理的问题。这两天做的几个问题都和阿基米德折弦定理有关，所以准备先写上几篇与其相关的文章。
(16)、原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。
(17)、阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。他还给出正抛物旋转体浮在液体中平衡稳定的判据。阿基米德发明的机械有引水用的水螺旋，能牵动满载大船的杠杆滑轮机械，能说明日食，月食现象的地球-月球-太阳运行模型。但他认为机械发明比纯数学低级，因而没写这方面的著作。阿基米德还采用不断分割法求椭球体、旋转抛物体等的体积，这种方法已具有积分计算的雏形。
(18)、 1) 用匙子调整杠杆中右边小杯子里沙子的数量，使杠杆保持平衡。
(19)、邓启龙——由Nesbitt不等式引发的探究
(20)、点评：这是折弦定理在圆内接等边三角形中的具体应用，这种证明方法，让截长或补短等繁琐的证明得以简化，加速了证明的进程，使得定理及其推论展现了解题的重要性，彰显了定理的重要性，特别是灵活运用等边三角形的性质，确定折弦在弧或对弧的中点，成为破解问题的关键.
3、
(1)、 则∠XBE=∠XNE=∠DNC=∠DAC=∠DAB,
(2)、只是到最后，不管你会做不会做几乎都能把答案蒙出来，
(3)、阿基米德研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是因为纪念他而命名。另外他在《数沙者》一书中，他创造了一套记大数的方法，简化了记数的方式。
(4)、阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。
(5)、邹生书：一题多构殊途同归 不等式与方程齐飞
(6)、点评：解答时，用到了四个知识点：一是同圆或等圆中，等弧对等弦，这是证明关键要件；二是夹在平行弦的弧相等，弦相等，这是解题推理条件的有效桥梁；三是活用HL证明直角三角形全等；四是运用矩形的判定定理.
(7)、关于这类线段关系类的证明题，我们可以从“截长补短”和“全等”的方向来探索方法解决问题。
(8)、EAFI共圆∠FAI=∠IEN=∠IFN；
(9)、当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将理论运用到实际的生活上是轻而易举的。阿基米德极可能是当时全世界对于机械的原理与运用了解最透彻的人。
(10)、20191018—20200618最受读者欢迎的70篇文章链接
(11)、阿基米德将欧几里德提出的趋近观念作了有效的运用。他利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这样的“逼近法”加以发展成近代的“微积分”。阿基米德还利用割圆法求得π的值介于14163和14286之间。
(12)、0《化斜为直求三角形周长最值，分类讨论探平行四边形存在》---2021年重庆A卷第25题解析
(13)、 其实上述问题证明的错误与(1)类似：作图出了问题！做出正确的图形以后可以发现，如下图所示，点P在直线AB上方、直线CD右方，即△ABP与△DCP同向(即都是顺时针分布，而图中ABP为逆时针，DCP为顺时针分布)，所以上述证明过程都没有问题，但是在正确的图形中由∠BAP=∠CDP及∠PAD=∠PDA推不出∠BAD=∠CDA！
(14)、垂径定理的原命题是“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，我们首先从它的诸多逆命题中找出一个：“过弦所对的弧的中点向弦做垂线，则该垂线也平分弦”。本来平平无奇，但是阿基米德从中看出了玄机，提出：如果条件中的弦被折成两段，即直线段AB变成折线段ACB，结果是否不变？这就是著名的“阿基米德折弦定理”：
(15)、推论2：折弦角两边之积等于非折点弧中点和非折点连线与非折点弧中点和折点连线的平方差.
(16)、 上述解法二是本人得到的，三是万喜人老师公布的答案，万老师还有一种计算的证明方法，有兴趣的读者可以自行查找，四种解法中两种是计算得到，还有两种是纯几何方法得到，应该说是各有千秋，不过整体来说似乎解法二更简单易想一些(王婆卖瓜^-^)。本题算是阿基米德折弦定理的一种变形，其实MJ为平分ABC周长的直线，相关的结论和性质还是比较多的。找到了一个题目的一种本质所在，在这种角度下MN这条直线就是比较常见的图形的性质，本题也就不像刚开始看的那么“奇怪”了。
(17)、阿基米德在这里学习和生活了许多年，曾跟很多学者密切交往。
(18)、推论1：折弦角两边之积等于非折点弧中点和折点连线与非折点弧中点和非折点连线的平方差.
(19)、这道题，是道奥数题，其实是著名的阿基米德折弦定理。此题证明，也是稍微动点小脑筋，然后只要你熟悉了圆中的角和线的相关定理，这题也不是很难的。
(20)、在BD上截取BF=AD，连接CD，CF，BC
4、
(1)、杨俊——对抛物线内接三角形外接圆半径最小值问题的深度研究
(2)、赵志岗——七大途径破解导数中的“指对不等式”
(3)、如果同学们喜欢，让更多的学生加进来。我们一起努力，讨论。
(4)、张甜甜：一道课本数列例题及变式的多视角求解
(5)、 则IJ⊥ACCJ=ICcos(y-z)
(6)、阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.
(7)、∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.
(8)、阿基米德认为地球是圆球状的，并围绕着太阳旋转，这一观点比哥白尼的"日心地动说"要早一千八百年。 限于当时的条件，他并没有就这个问题做深入系统的研究。但早在公元前三世纪就提出这样的见解，是很了不起的。阿基米德的著作很多，作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、《论劈锥曲面体与球体》、《抛物线求积》、《论螺线》等数学著作。
(9)、他在研究机械的过程中，发现了杠杆原理，并利用这一原理设计制造了许多机械。
(10)、阿基米德的数学思想中蕴涵微积分，阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。
(11)、(定义)从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该圆的一条折弦.
(12)、0《铅垂高，水平宽，面积最值显而易见---2021常德市中考第25题解析》
(13)、亚历山大位于尼罗河口，是当时文化贸易的中心之一。 这里有雄伟的博物馆、图书馆，而且人才荟萃，被世人誉为"智慧之都"。
(14)、 作为力学家，他著有《论平板的平衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《论重心》等力学著作。
(15)、0《2021年长沙市中考第25题解析---正切导比，相似证明，建系妙解》
(16)、张成凯——圆锥曲线四点共圆问题命题背景研究——由2021年新高考1卷21题所想
(17)、已知：若M点在劣弧AB上，作MN⊥AC交AC于N点．
(18)、关于这个定律的发现过程，历史上流传着一个发人深思的故事：亥厄洛在叙拉古称王之后，为了炫耀自己的尊贵，命令工匠为他制作一顶金王冠。到了规定日期，工匠送来了金光灿灿的王冠，重量恰好和交付的黄金相同，亥厄洛国王十分满意。但后来有人告诉他，工匠在王冠里掺了假。国王感到受了欺骗，但要想知道真相就得将王冠毁坏，否则就没有办法把事实的真相揭露出来，于是命令阿基米德想办法查明真相又不得损坏王冠。
(19)、邹生书——高考和模拟考中的斐波那契数列问题解析
(20)、阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学王子。如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。他甚至被人尊称为“数学之神”。
5、
(1)、点评：解答时，用到了常用补短法，熟练掌握补短法的精髓，是解题的关键一环；其次，灵活运用圆内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质建构出等腰三角形，为三线合一性质的使用创造条件，同时，也为问题的破解奠定基础.
(2)、点评：解答时，用到了常用截长法，熟练掌握截长法的精髓，是解题的关键一环；其次，灵活运用等腰三角形的性质，圆周角定理，手拉手三角形全等的判定和性质，都是解题要和谐解题所必需的解题要素.
(3)、0《回归塑源，聚焦问题本质，触类旁通，开拓学生思维---铅垂法求面积最值》
(4)、阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
(5)、如右图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。
(6)、张成凯王文彬：放缩法在数列压轴题中的考查形式举例