罗素悖论的例子
1、罗素悖论通俗
(1)、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
(2)、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
(3)、选择的方法是这样的：死囚可以任意说出一句话，如果这句话是真的，就处以绞刑；如果这句话是假话，就砍头。为了防止无法判别真假的情况，凡是无法马上判别真假的话，一律被视为说假话被砍头；若不说话则一律被当成说真话被绞死。看来这个坏国王不仅残忍而且狡猾，结果可想而知，死囚们不是因为说来真话而被绞死，就是因为说了假话而被砍头，或者因为不能马上验证真假而被砍头，或者因为不讲话而被砍头。似乎每个死囚都难逃厄运，所以国王很为自己的“才智”得意开心。
(4)、所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。
(5)、如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
(6)、价值悖论(也被叫做钻石与水悖论)就是一类典型的自相矛盾的例子，尽管在维持生存的价值上水要高出钻石，但是市场价水却不如钻石。我们来试着解释一下这个悖论，当消费量较小时，两者相比水的边际效用要大于钻石，因此两者都缺少的时候，水的价值就更高。事实上，现在我们对水的消费量往往都比较大，钻石的消费量却远没有那么大。我们可以天天喝水喝到吐，却不能天天买钻石。所以，大量水的边际效用小于少量钻石的边际效用。
(7)、第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：
(8)、其实恰恰相反，悖论的提出和解决推动着科学的进步。
(9)、第二桩跟家庭有关，且同样发生得很突然。据罗素自己回忆，1902年春天的一个下午，他在一条乡间小路上骑车，忽然“顿悟”到自己已不爱结婚八年的妻子了。那是一个最符合字面意义的“顿悟”，因为在那之前他甚至没有觉察到对妻子的爱有任何减弱。连减弱都没有，突然就消失了，天才人物的“顿悟”出现在不该出现的地方时，看来是很有些可怕的。罗素的妻子爱丽丝·皮尔索尔·史密斯(AlysPearsallSmith)比罗素大5岁，罗素17岁时结识了她，22岁时将“姐弟恋”修成正果，“七年之痒”时因“顿悟”而陷入困境，但在爱丽丝一度以自杀为威胁的抗争下，拖了约20年才最终离婚。
(10)、a.一致性：即综合排序必然符合所有人都同意的的排序。
(11)、罗素和怀特海的这部大书顾名思义，是研究数学基础的。这类研究有几个主要流派，比如以德国数学家希尔伯特(DavidHilbert)为代表的形式主义(Formalism)、以荷兰数学家布劳威尔(L.E.J.Brouwer)为代表的直觉主义(Intuitionism)，等等。罗素和怀特海这部《数学原理》也属于一个著名流派，叫做逻辑主义(Logicism)，主张数学可以约化为逻辑。《数学原理》不是逻辑主义的奠基之作，却是它的高峰。在《数学原理》中，数学大厦的一部分被从逻辑出发直接构筑了出来。罗素和怀特海对此深感自豪，在向皇家学会申请赞助的信里，特别强调了这部书的精确性(exactness)、推理的缜密性(particularityofreasoning)以及内容的完备性(completeness)。
(12)、如果它是非自谓的，就是说它对自身的修饰“非自谓”为假；则根据定义，它应该是自谓的。
(13)、鳄鱼喃喃自语：“如果我吃掉你的孩子，那就说明你答对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃你的孩子，那就说明你答错了，我就应该吃掉孩子。”
(14)、忒修斯之船悖论提出了一个问题，当一个整体的所有组成部分都被替换，那么这个整体还是原来的整体么？
(15)、如果X是B类集合，则X不包括其自身，但按照X的定义，X又应该包括所有的B类集合，显然又应该包括其自身。无论把X分为哪一类都是自相矛盾的。
(16)、把集合分成两类，一类是包括自身的集合——比如叫做A类集合，一类是不包括自身的集合——比如叫做B类集合，显然一个集合不是A类集合就是B类集合，没有第三种可能，那么现在问：仅由所有B类集合组成的集合X，是A类集合还是B类集合？
(17)、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
(18)、说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”
(19)、关于时间旅行最有名的悖论是科幻小说作家赫内·巴赫札维勒1943年的小说《不小心的旅行者》(《FutureTimesThree》)中提出的。悖论内容如下：时间旅行者回到自己的祖父祖母结婚之前的时空，时间旅行者在该时空杀死了自己的祖父，也就是说，时间旅行者自身从未降生过；但是，如果时间旅行者从未降生，也就不能穿越时空回到以前杀死自己的祖父，如此往复。
(20)、关于没有定义，可以展开一下。例如对于变量x没有任何定义，这是缺少定义；对于x定义为x，这是重言定义；对于x定义为(x=0ifx=1andx=1ifx=0)，这是矛盾定义。这三种定义，都没有给出正确的定义。
2、罗素悖论举例
(1)、文章内容参考：胡作玄，第三次数学危机，四川人民出版社，1904
(2)、除了遭遇像罗素悖论那样技术性的“拦路虎”外，撰写《数学原理》的十年间罗素在生活上也颇受了几桩“罪”。
(3)、孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“早上太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。这不正是近大远小导致的吗？”
(4)、可是实际上，这里不存在矛盾，只是逻辑思维上的抽象的人取代了现实的关系的人而已。属于人为的逻辑矛盾。这是混淆概念的问题。也就是说，所谓的“理发师悖论”的出发点就是假设的前提条件，而非尊重客观现实的条件，这就是问题的关键所在。
(5)、罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有RR，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切RR的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
(6)、如果匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”结果会怎样?当匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”，匹诺曹悖论属于谎言悖论的一种。匹诺曹悖论不同于传统谎言悖论的地方在于，悖论本身没有做出语义上的预测，例如“我的句子是假的。”
(7)、I.Grattan-Guinness,TheSearchforMathematicalRoots,1870-1940(PrincetonUniversityPress,2000).
(8)、(7)值得一提的是，这些反对意见罗素和怀特海自己也多少预见到了(毕竟，花几百页的篇幅才推出“1”来的人是很难不预见到这些反对意见的)。在《数学原理》第一卷的序言里，他们写道：“在数学上，最大程度的自明性(self-evidence)通常并不在开头，而是出现在后面某个地方；因此抵达那个地方之前的早期推理与其说是因结论可以从前提中推出而提供了相信结论的理由，不如说是因正确的结论能从中推出而提供了相信前提的理由。”对于公理的不够显而易见，这可以算是一种辩白，不过终究不是很有力，因为自明性如果出现在后面——比如出现“1”的地方，那么也许确如维特根斯坦所说的，应该那里才是数学的真正基础。
(9)、维特根斯坦反复强调：“数学家不是发现者，而是发明者。”，又说“数学家一直在发明新的描述形式。有的人受实际需要的刺激，另一些人出自审美需要，还有些人以其他种种方式。”
(10)、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他理发，我也只给这些人理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。这就是著名的罗素悖论。
(11)、关于，“假设前提条件”与“客观实际条件”的区别，这里再举个简单例子，比如，昨天实际情况是我与小花一起去郊外踏青了，然后遇到了一系列的事情，这里且甭管什么事情吧，总之是，实际的客观实际的事情，是由现实的人我与小花共同经历的。而发生的这一系列事情令我们俩不是很高兴，所以，今天我呢就假设了下，我想假设昨天我与小花不去郊外踏青，而要是去做什么什么事情了，那么后面一系列的令人不愉快的事情也就不会发生了。这里，后面一种就是假设前提条件，可以写虚构小说，只要写的符合一定的逻辑就很好；而前一种情况是客观实际情况，实际事情的情况的每一点细节都是整个实际情况的具体条件，分析昨天的事情的得失就要尊重昨天一系列实际情况作为具体前提条件。
(12)、假设你路过一家理发店，标语上写着：“你给自己刮脸么？如果不是，请允许小店帮您刮脸！我只帮城里有所不自己刮脸的人刮脸，其他人一概不刮。”这个简单的介绍足够让你走进这家理发店了，但是接下来你发现了问题——理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，那么他就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺，如果他不给自己刮脸，那么他必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都导致这句话说不通。
(13)、一如，我与小白是朋友关系，这里我是相对小白而言的一种朋友关系，反之小白相对我也是一种朋友关系，没有我，小白自己构不成朋友的对象性关系，没有小白，我也构不成小白的对象性关系。也就是说，我与小白这朋友关系本身是客观的前提条件。理发师悖论出现的原因，就在于，如果，把这种客观的朋友关系不作为本身的承认的条件，却以割裂的看问题的法子，又假设一个前提条件，假设小白如何如何，然后说我会如何如何，或假设我如何如何，然后说小白会如何如何，这只能是脱离具体的实际的看问题，想象的存在于思维里的而已。
(14)、于是老师准备起诉他，并告诉他说：“如果我胜诉，法官会判你付学费；如果我败诉，那么根据约定，你还是要付我学费。总之要付。”
(15)、哈代的转述没有结局，也许到这里罗素被惊醒了，未能“看到”结局。不过我对结局倒是毫不悲观，科学史从来也不是如政治史那样“成王败寇”的历史，《数学原理》虽未能实现将数学约化为逻辑的梦想，作为一次可敬的尝试无疑是该被铭记的。事实上，哪怕像哥德尔不完全性定理那样对《数学原理》造成沉重打击的研究，它以《数学原理》作为表述框架本身也是《数学原理》对数学发展的一笔该被铭记的贡献。因此，若让我来为罗素的噩梦想象一个结局的话，我愿相信公元2100年的图书管理员的决定会是明智的，起码会不亚于罗素那位20世纪的“女粉丝”——那位“女粉丝”说过：“只要文明还存在，并且珍视伟大智者的工作，它(《数学原理》)就不会被遗忘。”
(16)、从罗素时代至今，很多学者会认为数学家的工作是在发现真理。但在维氏看来，数学家的工作更多的是在发明。
(17)、如果认为这句话是真话，那么按照这句话所说，这句话就是谎话。
(18)、罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
(19)、1897年，25岁的罗素撰写了一本关于几何的书：《论几何的基础》(AnEssayontheFoundationsofGeometry)，随后又开始构思一本有关数学基础的书：《数学的原理》(ThePrinciplesofMathematics)。这本中译名仅一字之差，英文名也有些相近的书是《数学原理》的前身。仿佛在预示《数学原理》将要让罗素受“罪”，《数学的原理》一起头就不顺利，几次努力都止于片断。这一局面直到1900年8月罗素在巴黎国际哲学大会(InternationalCongressofPhilosophy)上遇见意大利数学家皮亚诺(GiuseppePeano)才有了被他称为“智力生活转折点”(aturningpointinmyintellectuallife)的改变(注二)。
(20)、这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，理发师给出的规则对于“理发师要不要给自己理发”没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。如何解决呢？很简单，关于“理发师是否给自己理发”，理发师可以再制定一个新规则。
3、罗素悖论说明了什么
(1)、匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。
(2)、但变动的比值不变，那么就可以做到汇率的稳定性和汇率的浮动性的统汇率的稳定性通过汇率的浮动性表现出来，汇率的浮动性体现了汇率的稳定性，也就可以做到本国货币政策的独立性，汇率的稳定性，资本的完全流动性三者同时实现。
(3)、(8)哥德尔去世后，他的遗物中有一套标有日期1928年7月21日的《数学原理》——那一年哥德尔22岁。不过有趣的是，哥德尔并不在罗素所说的读过《数学原理》后面部分的六人之列(因罗素提到那六人三人为波兰人，三人为得克萨斯人，而哥德尔是奥地利人，到美国后也不曾在得克萨斯定居过)，不知是罗素的遗漏、有意忽略、还是确实认为哥德尔没读过《数学原理》的后面部分。
(4)、学生则说：“如果我胜诉，法官会判我不付学费；如果我败诉，那么按照约定，我仍然不必付学费。总之不付。”
(5)、从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
(6)、《数学原理》的作者阵容比《数学的原理》扩大了一倍：在罗素的动员下，怀特海成为了合作者。怀特海对数学基础也有浓厚的兴趣，曾于1898年撰写过一本标题为《泛代数》(ATreatiseonUniversalAlgebra)的著作，且有续写的想法。罗素自己的最初打算则是将《数学原理》写成《数学的原理》的第二卷。不过，这两位想写“续集”的作者“强强联合”的结果，是各自抛弃了“前集”，写出了一套篇幅和深度都远超“前集”的独立著作。
(7)、传说古希腊有个残暴的国王，准备把一批囚犯处死。当时处死的方法有两种：一是砍头，二是绞刑。这个国王为了表示自己还有那么一点仁慈和怜悯，于是决定让囚犯自己选择死的方法。
(8)、在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
(9)、在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
(10)、据说德国的著名逻辑学家弗雷格关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久的工作被这条悖论搅得一团糟，只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
(11)、当匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”，匹诺曹悖论属于谎言悖论的一种。
(12)、柏拉图(Platon，Πλάτων，约前427年－前347年)，古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。
(13)、其实，梅拉那部书是很大的，6卷9册5,000多页，恐怕是有史以来最大的科学史专著，照卡利马科斯的说法，罪是小不了的。倒是罗素的“谦虚”还稍有些道理，因为《西方的智慧》并不是他最大的书，他有一部大得多的书叫做《数学原理》(PrincipiaMathematica)，3卷近2,000页，那才是“大罪”。不过那恐怕不是书之罪，而是书带给作者的罪——那部大书着实让作为主要作者的罗素受了“大罪”。
(14)、而如果他不给自己理，那他满足上面宣称的条件，他就应该给自己理发。
(15)、 现在大家知道悖论的知识的重要性了吧。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当做思维方式。所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生，形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。数学是思维的体操，的确不假，通过数学知识的学习可以培养我们的思维能力，而这种能力又可以迁移到其它方面，成为我们的智慧。所以可以毫不夸张的说，学数学可以使我们变得更加聪明，愿更多的人能关注数学、学习数学。
(16)、第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
(17)、最后，到了公元前370年，这场危机被毕氏学派的欧多克斯通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
(18)、演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。
(19)、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月(入选《中国分析哲学2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页)
(20)、大书出版了，大钱赔掉了(注六)，但罗素把大书的完成比喻为重病患的死去并不恰当，书之于作者其实更像孩子之于父母，书的出版好比孩子的降生，未必是一个能让父母如释重负的时刻。事实上，罗素因这部大书而受“大罪”的历史并未就此终结。
4、罗素悖论的本质
(1)、数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”，这一发现使数学家们为之陶醉。
(2)、1906年之后，《数学原理》所遇到的技术瓶颈开始被突破，写作得以加速。那时候，怀特海因教书工作的羁绊无法花足够的时间在《数学原理》上，罗素开始以每天10-12小时，每年8个月左右的时间投入写作。但烦恼并未就此远离，随着手稿数量的增多，他又陷入了近乎杞人忧天的担忧之中，害怕手稿会因房子失火而被毁。
(3)、先来看《吕氏春秋》中记载的一个故事：春秋末年，有一个著名的讼师(类似于现在的律师)叫邓析。
(4)、古人没有讨论出答案，今人ThomasHobbes和JohnLocke也在尝试对这个问题进行解答。有些人说：“船还是原来的船。”但是也有人说：“船已不是当初的船。”
(5)、这个词含义丰富，广义上说它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，这些结论可能会使我们惊异无比。
(6)、罗素悖论的解答方案中最受欢迎的应该是策梅洛-弗兰克尔公理化集合论。这种公理化集合论限制了对简单集合论的随意假设，因为如果给出一个限定条件，你总是能指定出恰好符合条件的集合。但是在策梅洛-弗兰克尔公理化集合论中，你只能从给定个体入手，从中挑选内容形成集合。也就是说，不用先假定有一个包含所有集合的全集，也避免了将包含所有集合从包含了自身的集合中剔除出来(实际上并不包含)。你用不着构思步骤、建立个别、再将这个分支集合划入任何给定集合。
(7)、1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。
(8)、中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。
(9)、我们了解了悖论的有关知识，能发现别人语言中的矛盾，这其实是一种智慧的表现。智慧可以给人带来财富，使人获得很多很多，有时甚至可以是自己的生命。
(10)、(9)罗素和怀特海所强调的完备性从字面上讲，是涵盖范围很广阔这一意义上的完备性，但在涵盖范围之内，则如哥德尔之前几乎所有研究数学基础的其他人一样，默认了不存在无法证明的真命题这一意义上的完备性。这后一种完备性恰恰因为前一种完备性，即涵盖范围很广阔，而被哥德尔不完全性定理所颠覆。
(11)、那么，具体到罗素悖论，如何分析和解决呢？很简单，R是数学家发明构造的，数学家给出的规则对于“R是否属于R”给出了一个矛盾式的规则，相当于没有定义。没有定义起码有三种可能性：缺少定义，重言定义，矛盾定义。
(12)、一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”
(13)、当时的情况是，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，这一成果也为数学界接受，并且获得了广泛而高度的赞誉。
(14)、另一个却说：“早上太阳距离我们远，中午距离我们近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是距离远近所导致的吗？”
(15)、他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。
(16)、悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
(17)、举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=ciffa=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。
(18)、数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
(19)、罗素年轻时雄心勃勃，二十出头就立下宏愿，要写两个系列的“大书”：一个涵盖所有的科学领域；另一个涵盖所有的社会学领域。他并且畅想：一个系列将从抽象出发，逐渐向应用靠拢，另一个系列则从应用出发，逐渐向抽象靠拢，最终交融成一个巨无霸系列。罗素后来确实算得上著作等身，但年轻时的这个宏愿实在是远远超出了任何个人的能力，终其一生也未能实现，而只在某些局部领域中取得过局部成果。如果要在其中找出一个努力得最系统的，那恐怕是数学。
(20)、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
5、罗素悖论的理解
(1)、罗素曾感慨很多困难似乎只有用“并不漂亮的理论”才能解决，现在哥德尔告诉他，甚至在那“并不漂亮的理论”里，困难依然存在。这对罗素和他所执着的逻辑主义都是一个沉重打击，用罗素自己的话说，“我一直希望在数学中找寻的壮丽的确定性失落在了令人困惑的迷宫里。”这也许是比10年的苦干和负50英镑的“赚头”更让罗素受罪的。
(2)、声明：本文由《顺德数学家园》原创，如需转载请注明出处.
(3)、B.Russell,Autobiography(Routledge,1998).
(4)、例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。
(5)、如果你认为数学家是在发现客观真理，那么你就不会接受维氏的分析和解决。如果你认为数学家是在发明主观理论，那么维氏的分析和解决再清楚再简单再合理不过了。
(6)、悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都不能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
(7)、如果一个形容词对自身的修饰为真，称为是自谓的，如果一个形容词对自身的修饰不真，称为是非自谓的。
(8)、这句话之所以成为悖论，是因为混淆了两个命题包含的不同对象，误以为两个命题的对象是同一的，两个命题是等价的，违背了形式逻辑同一律。对称逻辑要求命题与对象对称。只要命题与对象对称，这个悖论即可化解。